Lab 9-1: Complex 的應用與 Mandelbrot 圖形界面

這個程式會顯示 Mandelbrot 碎形 (fractal) 圖形如下圖 (mandelbrot.mp4):

這個碎形圖形其實是根據複數平面上每個複數點 c 的一個特別性質畫出來的, 對於任意一個複數 c, 可以定義一個數列 z₀ = 0, z_i = (z_i-1)² + c; 如果我們規定複數 z_i 的實部或是虛部的絕對值超過 2 就稱為 "發散", 對於每一個複數 c 來說都會存在一個 i 值, 只要大於這個 i, z_i就會發散, 如此每一個複數點 c 都有一個對應的 i 值, 將這些 i 值在視窗中用不同的顏色表示出來就出現上面這張圖, 例如上圖中外圈草綠色部份的那些點所對應的 i 值都是相同的, 外圈的 c 離原點比較遠, | c | 的值比較大, 所以數列比較快發散, i 可能是 2 或 3 吧。

參考資料 Mandelbrot set, Julia set, Fatou set

Online generation: Mandelbrot set, Julia set

Mandelbrot zoom to 10¹⁹⁸ (9 分 10 秒的視訊, 看一下, 讚嘆一下, 看完了嗎? 剪下幾張回顧一下 1, 2, 3, 4, 5, 6, 有沒有覺得 全面啟動 inception 裡面的夢境層數太少了?)

Mandelbrot zoom to 10²²⁵, Mandelbrot zoom to 10⁶⁰⁴⁴

簡單的互動程式 10¹⁵, ↑↓← → 可以移動觀看區域, z 可以放大, s 可以縮小; 繪圖是用簡單的 SFML 做的

    TRACE("m_data=%d\n", m_data);
    TRACE("m_doubleData=%f\n", m_doubleData);

如果你用 debug 模式(偵錯/開始偵錯 F5)執行的話, 會跑到 output 視窗中, 如果你是正常執行(偵錯/啟動但不偵錯 Ctrl-F5)的話, 可以開啟 dbwin32 程式來顯示偵錯的結果

接下來我們介紹如何一步一步地產生這個碎形圖形, 首先你需要把繪圖座標對應到複數平面, 例如將畫面上 500 x 500 像素 (pixel) 的區域對應到複數平面上 (-1.65, -1.15)-(0.65, 1.15) 的方形區域上, 一般在繪圖的系統中橫軸是 x 軸, 向右是正的方向, 縱軸是 y 軸, 向下是正的方向, 所以視窗左上角是 (0,0), 右上角是 (499, 0), 左下角是 (0, 499), 右下角是 (499, 499); 複數平面就是數學上的定義, 實數軸向右是正的, 虛數軸向上是正的:

    int i, j;
    Complex c;
    double step = range / (windowSize-1);
    for (i=0; i<windowSize; i++)
        for (j=0; j<windowSize; j++)
            c = Complex(centerX-range/2.0+i*step, 
                        centerY+range/2.0-j*step);

    令複數 z 的初始值為 0+0i
    令每一個點的複數座標為 c
    
    重複計算
            z = z * z + c

    每次運算後, 如果 z 的實部或是虛部的絕對值超過 2
    的話, 就表示已經發散掉了, 此時請記錄由開始到
    發散需要計算上式幾次, 通常在前 50 次計算中,
    會發散的點就已經有百分之九十九都發散掉了, 
    剩下的也幾乎不會發散了

如果發散的條件改成 "當 z 的實部和虛部的絕對值都超過 2" 的話, 還是一個碎形圖形, 但是看起來有點醜, 沒有那麼賞心悅目了

請下載圖形界面程式碼 Mandelbrot02b_vc2010.rar, 解壓縮出來到硬碟中(請不要放在隨身碟裡, 隨身碟的檔案系統是FAT32或是FAT16, vc2010 的圖形介面程式碼需要放在NTFS的檔案系統裡, 才能順利用debug模式編譯測試!), 請編譯並且執行

請一定要先編譯並且執行, 解壓縮出來的程式碼至少有 1000 列以上, 如果沒有辦法編譯的話, 你需要先處理, 不要等你增加了一些程式碼以後, 弄不清楚到底是你的問題還是系統安裝的問題 (VC 2010 必須要裝 service pack 1 以後才能在這個專案中順利運作, VC 2010 / 2012 / 2013 Express 也沒有辦法開發 MFC GUI 程式)

執行起來以後你應該可以看到顯示的視窗中是全部空白的, 選單中有 檔案/ MaxIteration 設定的選項, 這個選項可以讓使用者在專案中應用你先前寫的 Complex 類別來撰寫程式, 請下載你先前製作好的 Complex 類別的程式碼 (請注意, 大家寫的 Complex 類別基本介面都是一樣的,如果你發現你的 Complex 物件表現不太對,可以借用別人的來測試比較看看, 這是物件化的程式一個很重要的好處)

    class Mandelbrot  
    {
    public:
    	Mandelbrot(double centerX, double centerY, double range);
    	void generateData(int ** &data, 
    	                  int windowSize, 
    	                  int maxIterations);
    	void deleteData(int ** &data, int windowSize);
    private:
        ...
    };

你可以在建構元

    Mandelbrot::Mandelbrot(double centerX, double centerY, double range) 
    {
    }

void generateData(int ** &data, int windowSize, int maxIterations);

這個成員函式應該要檢查傳入的指標, 如果是 0 的話, 代表這個函式第一次被呼叫到, 需要動態地配置一塊二維的整數 (int) 陣列, 其架構如下圖

為什麼需要刪除再重新配置呢? 為什麼不直接用上一回配置的陣列就好了? 這其實是擔心圖形介面呼叫這個 generateData() 函式時如果傳入的 windowSize 會變動, 前一次如果配置的陣列比較小時就會發生記憶體的存取錯誤!! (不是說好 windowSize 是 500 的嗎?? 如果這麼相信它, 你就直接用 500 囉, 不要在意傳進來的 windowSize 是多少了, 這是理想狀況, 萬一不是這樣呢? 這個 gennerateData 訊息是別的物件傳遞給 Mandelbrot 物件的, 主控權不是 Mandelbrot, 所以還是尊重一下傳進來的數值吧, 不要做太多的假設)

你可以先把配置好的陣列的每一個元素都設成一個固定的數值 (例如 data[i][j] = 10;) 然後編譯和測試, 不必等到算出發散的 i 值都算出來了才開始測試。

一切順利的話你的執行畫面上應該可以看到 Mandelbrot 的顯示了

由於你在這個程式中有動態配置記憶體, 請特別在 dbwin32 視窗中確定一下程式結束時有沒有 memory leakage (請注意, 你不需要使用先前介紹的 memory_leak.h memory_leak.cpp , 使用MFC dll 的程式自動會把記憶體遺漏的訊息顯示在 dbwin32 視窗中, 你可以試著配置一小塊記憶體, 程式結束前不要刪除, 看看是否會偵測到)

再給大家一點點 MFC GUI 的範例

1. 簡單的表單應用程式
   範例程式碼, 完整程式製作過程 (android com.adobe.flashplayer.apk) ,
   範例二, 範例二程式碼
   
   
2. MFC SDI 應用程式: GUIComplexCalc, 完整程式製作過程 (android com.adobe.flashplayer.apk)
   
   
3. BattleShip, 範例, (原始程式)
4. 簡易計算機 範例 介面 (原始程式)
5. 接龍 範例1 範例2 (介面原始程式 vc6)
6. 貪食蛇, 範例(沒有偵測障礙物) (原始程式)
7. 踩地雷 範例 (原始程式) 介面 (介面原始程式)